🔧 阿川の電商水電行
導入
$2$ 進制有以下表示法。
- $1 \rightarrow 1$
- $2 \rightarrow 10$
- $3 \rightarrow 11$
- $4 \rightarrow 100$
- $5 \rightarrow 101$
$\vdots$
那麼，$1$ 進制又會是怎麼樣呢？
- $1 \rightarrow 0$
- $2 \rightarrow 00$
- $3 \rightarrow 000$
- $4 \rightarrow 0000$
- $5 \rightarrow 00000$
$\vdots$
這樣很明瞭！……如果你這麼想的話。
本文要討論的是，那是不對的。
另外，在日常生活中，上述的認識是沒問題的，因此如果你特意去糾正說「不，那不是 $1$ 進制……」，會被認為是瘋子，因此還是別這麼做。
不過我瘋了，所以我會繼續。
為什麼錯誤？
所謂的 $N$ 進制（為方便起見，這些詞準則稱為 自然 $N$ 進制），前面的 $0$ 無論有多少都是沒有意義的。因此，以下所有數字都是同一個 $1$。
- $1$
- $01$
- $001$
- $0001$
$\vdots$
同樣，以下數字都是同一個 $0$（也就是虛無）。
- $0$
- $00$
- $000$
- $0000$
$\vdots$
因此，在自然 $1$ 進制中無法區分彼此的數字。所以，「$1$ 進制是用一種符號來計數」的說法是錯誤的。
那麼這是什麼？
這個問題的本質在於，除了 $0$ 之外還有「空白」，而這有填滿了前面的部分。
事實上，很多人應該在日常生活中，甚至在工作場合，經常使用這種計數方法。
那就是 Excel。
- A
$\vdots$ - Z
- AA
$\vdots$ - ZZ
- AAA
$\vdots$
這種增長方式正是開頭所示的。
全單射記數
實際上，對於這種思考方式，我在之前的 過去記事 中提到過，這種計數方式稱為 Bijective Numeration。在該文章中採用了「全單射記數法」這一翻譯，因此為了與自然 $N$ 進制區分，之後將稱為全單射 $N$ 進制。
至於各記數法所計算的「個數」的定義如下：
- 自然 $N$ 進制：非負整數（即包含 $0$ 的自然數）
- 全單射 $N$ 進制：可由 $N$ 種類的字符組合而成的非空字符串
以下是各要點的總結。
自然N進制
- 恰好包含 $D$ 位的個數：$(N-1) \times N^{D-1}$
- $D$ 位以下的累計個數：$N^D$ ※ 包含 $0$
全單射N進制
- 恰好包含 $D$ 位的個數：$N^D$ ※但當 $D=0$ 時為 $0$
- $D$ 位以下的累計個數：$\frac{N^{D+1}-1}{N-1}-1$
結論
也就是說，所謂的「計數方法」其實是全單射 $1$ 進制，而不是自然 $1$ 進制。
對於熟悉 Excel 的人來說，「只有一個 $A$ 的列號」或許更容易理解。
我們將在一般式中進行思考。
自然1進制
恰好包含 $D$ 位的個數為
- $(1-1) \times 1^{D-1}=0$
也就是說，無論哪個位都無法儲存任何數字。
$D$ 位以下的累計個數為，
- $1^D = 1$
那麼雖然無法儲存任何數字，但同時 $1$ 位以上的累計卻有唯一的一個數（虛無？），這是個稍顯非直觀的結果。
全單射1進制
恰好包含 $D$ 位的個數為
- $1^D = 1$
$D$ 位以下的累計個數為，
- $\frac{1^{D+1}-1}{1-1}-1$
不過，當代入 $N=1$ 時，那個分母會變成 $0$，這樣就變得無法定義。
然而，這只是因為等比級數的和的公式在 $N=1$ 時無法使用，故我們可以直觀地考慮：
- 長度為 $1,2,\dots,D$ 的列各有一個
- 累計個數為 $\sum_{k=1}^D 1 = D$
由此可以看出，「計數的方法」用全單射 $1$ 進制來理解會更為合理。
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