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前言：「震驚！震驚！」
2026年2月28日，計算機科學界傳來了一陣小小的震撼。
Donald Knuth（唐納德·克努斯）發布了一篇新的論文。標題為「Claude的循環」。開頭的話是這樣的。
"震驚！震驚！"
87歲的Knuth被迫改變了他對AI的看法。這篇記錄他所經歷的短文在Hacker News上獲得了500分以上的評分，並累積了200條以上的評論，引起了廣泛的討論。
發生了什麼事情？這篇文章將以簡單的方式解釋，使沒有專業知識的人也能理解。
Donald Knuth是誰
首先，讓我們來解釋「為什麼這個人的發言如此重要」。
Donald Knuth被稱為編程界的「神」。他於1938年出生，是斯坦福大學的名譽教授。他的代表作《計算機程序設計的藝術》（通稱TAOCP）是一部自1960年代以來持續撰寫的七卷大作，被譽為計算機科學的聖經。
比爾·蓋茲曾經這樣說。
「如果你能讀完這本書，請務必把你的履歷寄給我」
Knuth除了在計算機科學領域內享有盛譽之外，還是排版軟體TeX的開發者。幾乎所有撰寫學術論文的研究者都受益於TeX。
而Knuth對於AI一直保持著謹慎的態度。他的立場是「大規模語言模型本質上並不具備智慧」。
如今，他卻寫下了「震驚」。這正是這篇論文引人注目的最大原因。
發生了什麼 — 三行總結
- Knuth將他數週無法解決的數學問題提交給他的朋友—Claude Opus 4.6。
- Claude在約1小時內，以31個步驟找到了答案。
- Knuth承認「似乎我需要重新審視對AI的看法」。
問題是什麼
接下來，我們將不使用專業術語來解釋這個問題。
用比喻來理解
想像一個三維的棋盤。
有m個縱向、m個橫向和m個高度的格子點立體排列。如果m=5，則可以想象有125個點懸浮在空間中。
每個點都有三個方向的一條單行道延伸出去。這條道路總共有3 x m³條。
問題: 這些單行道是否可以恰好分成3條「巡迴路徑」？
「巡迴路徑」意指經過所有點一次，再返回到出發點的路徑。在數學術語中稱為「哈密頓閉路」。
沒有道路的遺漏或重複，恰好分成3條路徑。這是整個問題的全貌。
難點在哪
當m=3（27個點）時，Knuth曾手動求解。然而尋找「任意的m」，即「適用於任何數字的普遍法則」卻是困難的。
隨著m的增大，點的數量和道路的數量都會爆炸性增加。當m=10，則會有1,000個點和3,000條路。用暴力法嘗試所有可能的組合，對於超級計算機來說也是不切實際的。
所需要的不是計算能力，而是數學的洞察力——洞悉模式，並展示其始終成立的構造法。
這個問題曾是Knuth的巨作TAOCP即將出版的未解決問題之一。他耗費數週時間仍無法找到突破口。
Claude是如何解答的
Knuth的朋友Filip Stappers將這個問題直接輸入Claude Opus 4.6。
從這時起，約1小時的探索開始了。有趣的是，這一過程與人類研究者的試錯過程驚人地相似。
第一階段：暴力嘗試（第1〜10步）
Claude首先編寫程式並使用暴力解決方案。「不妨試試看」是他的做法。在小的案例上成功運行，但未能得出普遍法則。
第二階段：尋找模式（第11〜20步）
接著Claude想出了他所稱的「蛇形模式」。他試圖找出立體格子呈蛇形巡迴的規律。這看起來很有希望，但並未能覆蓋所有情況。
他還嘗試了模擬退火（統計優化方法）。儘管能找到個別的解決方案，卻無法用於一般性的規則構造。
轉折點：自我判斷（第25步）
這是一個最值得注意的時刻。
Claude得出這樣的結論。
「模擬退火能找到個別解決方案，但獲得一般的構造法卻需要純粹的數學」
這正如人類研究者在遇到瓶頸時所做的「根本改變方法的判斷」。AI意識到「自己的方法有限」，並切換了策略。
更進一步，Claude重新將這個問題認知為「凱利有向圖」。這是群論（代數的一個分支）的概念。即「這個問題更適合用代數的框架來思考」，觸及了跨領域的思考。
發現的瞬間（第30〜31步）
在第30步中，Claude回顧了過去的探索結果，找到了一個結構性模式。
在第31步中，它發現了一個根據s = (i + j + k) mod m的條件分支規則。這是對於所有奇數m有效的一般構造法。
檢驗與證明
Stappers的檢驗
Stappers執行了Claude生成的Python程式，測試了所有奇數m=3, 5, 7, ..., 101。所有測試皆正常運行。
Knuth的證明
此時人類與AI的角色分工變得明確。
Claude找到了「可行解」，但無法數學上證明「為什麼這始終是正確的」。
Knuth則寫下了嚴謹的數學證明，確保「對於所有奇數m，Claude的構造法確實給出了哈密頓閉路的分解」，他以人類數學家的身份保證這一結果。
760種解
Knuth進一步進行了深入分析。在m=3的情況下，他徹底調查後發現存在11,502條哈密頓閉路，其中符合條件的分解則有4,554種。而其中可以概括的（適用於所有奇數m的）則恰好有760種。
Claude找到的正是這760種解之一。這不僅是「運氣好」，而是系統性地發現了結構上正確的解的證據。
偶數問題仍未解決
奇數案例的問題已經清楚解決。然而對於偶數（m=4, 6, 8, ...）的情況又如何呢？
當Stappers繼續請Claude處理偶數案例時，Claude卻遇到了瓶頸。隨著會議時間的延長，程式的質量下降，最終甚至無法寫出正確的程式。
這真實地顯示了AI目前的極限。上下文窗口（AI一次能處理的信息量）有上限，探索時間的延長會導致性能劣化。
偶數案例的解決至今仍是一個未解問題。
為什麼這很重要
1. 「計算速度快」根本不同
AI快速地進行大量計算已不再令人驚訝。這一次Claude所做的以下過程才是重點。
- 自發地嘗試多種方法
- 從失敗中學習並改變方針
- 自我判斷「暴力法不行」
- 引入另一個數學領域的概念
- 最後發現未知的構造法
這應該稱作「研究」，而非單純的「計算」。傳統上被認為是「只有人類研究者才能做到的」領域，AI已經開始進入。
2. 發言者的權威不同
「AI很厲害」的文章每天都有。但這次的發言者卻是Donald Knuth。這位在計算機科學基礎上耕耘超過半個世紀的人，目睹了AI解決他自己無法解決的問題。
結尾的話顯得意味深長。
"看來我得在某天重新審視對生成AI的看法。"
（似乎該改變我對生成AI的看法了）
這實際上是AI懷疑派的最高權威宣布的轉變宣言。
3. 人類+AI的新分工模型
此次案例並不是「AI取代人類」的故事。各自的角色分工非常清晰。
| 角色 | 負責 |
|---|---|
| 定義問題 | 人類（Knuth） |
| 引導AI走在正確的方向 | 人類（Stappers） |
| 探索與發現解 | AI（Claude） |
| 證明解的正確性 | 人類（Knuth） |
AI發現了解，人類負責驗證和證明。人類與AI在數學研究中的合作模型，首次由世界頂尖的研究者正式記錄下來。
看到的極限
為了公平起見，我們還要梳理在此次案例中顯現出的極限。
Claude能做到的事情
- 系統地嘗試多種方法
- 從失敗中改變方針
- 跨領域思考重新表述問題
- 發現未知的構造法
Claude無法做到的事情
- 數學上證明發現的解「為什麼是正確的」
- 解決偶數案例（隨著長時間的會議性能下降）
- 在沒有人的引導下，自發性地處理這個問題
換句話說，並不是「AI單獨解決數學問題的時代即將來臨」。而是「如果人類能夠正確使用AI，它就能成為數學發現的夥伴」的事實被證明出來了。
Knuth的話
最後，引用Knuth在論文中留下的兩句話。
開頭。
"震驚！震驚！"
以及對於發現喜悅的表達。
"知道我的猜想有一個美好的解決方案，以及慶祝自動推理和創造性問題解決的這項驚人進步，真是令人愉悅。"
（除了知道我的猜測有漂亮的解答的喜悅之外，能夠慶祝這一自動推理和創造性問題解決的劇烈進步更是讓我高興）
87歲的巨匠懷抱著知識的好奇心，接受了AI的力量。他的這種態度或許是這篇論文最具價值的部分。
參考資料
- Donald Knuth "Claude的循環"（原論文）
- Hacker News討論（499點，217條評論）
- "唐納德·克努斯的30年問題——由AI解決"（Substack解釋）
- "計算機科學教父唐納德·克努斯表示，一個AI解決了一個他陷入數週困境的數學問題"（Boingboing）
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